Египетский треугольник 6 8 10

Разделы: Математика

Очень важно, чтобы материал, с которым учащиеся познакомятся на уроке, вызвал у них интерес.

Уделом истины не может быть забвенье,
Как только мир ее увидит взор,
И теорема та, что дал нам Пифагор,
Верна теперь, как в день ее рожденья.
За светлый луч с небес вознес благодаренье
Мудрец богам не так, как было до тех пор.
Ведь целых сто быков послал он под топор,
Чтоб их сожгли как жертвоприношенье.

Быки с тех пор, как только весть услышат,
Что новой истины уже следы видны,
Отчаянно мычат и ужаса полны:
Им Пифагор навек внушил тревогу.
Не в силах преградить той истине дорогу,
Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат.
(А. фон Шамиссо, перевод Хованского)

Пифагор, VI в. до н. э. (580 – 500), древнегреческий философ и математик. Первым заложил основы математики как науки, имел свою школу (школа Пифагора). Ему приписывают и открытие так называемой теоремы Пифагора, хотя геометрическая интерпретация этой проблемы была известна и раньше.

Задача на смекалку

Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. “Охотно скажу тебе, о Поликрат, – отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы. Седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины”. Сколько учеников было у Пифагора?

Пусть х – число учеников Пифагора.

По условию задачи составим уравнение:

ОТВЕТ: 28 учеников.

Начнем урок в школе Пифагора.

1. Практическая работа

(Несколько человек работают у доски, остальные в тетрадях).

Задание 1. Построить треугольник по трем сторонам, если стороны равны.

в) 5, 12, 13 (единицы измерения указывать не обязательно).

Задание 2. Измерить больший угол этих треугольников.

Ответы близки к 90 о .

Учитель предлагает внимательно посмотреть на построенные треугольники, найти отличия и определить, чем эти треугольники похожи друг на друга. Класс постепенно находит нужную формулировку: “Если треугольник имеет стороны a, b, c и a 2 +b 2 =c 2 , то угол, противолежащий стороне с, прямой”.

Доказательство этой теоремы – обратной к теореме Пифагора.

2. Устная работа

1) в прямоугольном треугольнике гипотенуза и катет соответственно равны 13 и 5. Найдите второй катет.

2) в прямоугольном треугольнике катеты равны 1,5 и 2. Найдите гипотенузу.

3) определите вид треугольника, стороны которого равны 6, 8, 10.

3. Практическая работа

На тонкой веревке делают метрии, делящие ее на 12 равных частей, связывают концы, а затем растягивают веревку в виде треугольника со сторонами 3, 4, 5. Тогда угол между сторонами 3 и 4 оказывается прямым.

ВЫВОД: если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то этот треугольник прямоугольный.

Учитель говорит учащимся, что этот факт использовался египтянами для построения на местности прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид надо было уметь строить прямые углы.

(Звучит музыка. Демонстрация слайдов с изображением античных дворцов, храмов, египетских пирамид).

Перед тем как перейти к следующему этапу урока, ученики вместе с учителем еще раз делают вывод, что безошибочность построения прямых углов следует из теоремы, обратной к теореме Пифагора. Проверяют еще раз эту теорему на треугольнике со сторонами 3, 4, 5: 3 2 + 4 2 = 5 2 . Далее можно сказать, что в общем виде уравнение записывается следующим образом: а 2 + b 2 = с 2 . Необходимо проверить есть ли еще корни у этого уравнения.

Учащиеся проверяют этот факт. Прямоугольными являются также треугольники со сторонами:

• 5, 12, 13;
• 8, 15, 17;
• 7, 24, 25.

Далее учитель сообщает, что прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.

Учитель предлагает тем учащимся, которых заинтересовала данная тема, дома доказать, что катеты a, b и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами:

а = 2mn, b = m 2 – n 2 , c = m 2 + n 2 ,

где m и n – любые натуральные числа, такие, что m > n.

В финале урока уместно прочитать известные стихи, посвященные теореме Пифагора.

Если дан нам треугольник,
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путем
К результату мы придем.
(И. Дырченко)

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми тройками (или пифагоровыми треугольниками).

Пифагорова тройка — это упорядоченный набор из трех натуральных чисел (x, y, z), которые удовлетворяют квадратному уравнению:

Пифагоровы числа — это числа x, y, z, которые образуют Пифагорову тройку.

Например, к пифагоровым тройкам относятся:

• треугольник с катетами 5 и 12, и гипотенузой 13. Т.е. пифагорова тройка будет (5,12,13).
• треугольник с катетами 6 и 8, и гипотенузой 10. Т.е. пифагорова тройка будет (6,8,10).
• Среди пифагоровых треугольников особо известен египетский треугольник – треугольник со сторонами 3, 4, 5.

Пифагорову тройку (пифагоров треугольник) с катетами x, y и гипотенузой z принято обозначать (x, y, z):

Примитивная Пифагорова тройка (Простейшая Пифагорова тройка) – это тройка чисел (x, y, z), которые являются взаимно простыми числами и имеют наибольший общий знаменатель, равный 1.

Если предположить, что два из чисел тройки имеют простой общий делитель p, то из уравнения тройки следует, то на p будет делится и третье число z. Это противоречит тому, что тройка — простейшая.

Из каждой примитивной тройки можно получить другую Пифагорову тройку, умножив x, y, z на одно и то же натуральное число k.

В примитивной тройке (x, y, z) числа x и y разной четности, причем, четное число должно делиться на 4, и или x или y должно делиться на 3. А число z – всегда – нечётное.

Другими словами, один из катетов должен быть нечетным, другой четным и делиться на 4, хотя бы один из катетов должен делиться на 3, а гипотенуза всегда нечетное число.

Формула Евклида является основным инструментом построения Пифагоровых троек.

Любая примитивная тройка представляется в виде:

Другими словами, катеты (x, y) и гипотенузу (z) пифагорова треугольника можно выразить следующими формулами:

где m, n — целые числа (m>n).

Образованные при помощи формулы Евклида тройки будут примитивными тогда и только тогда, когда m и n взаимно простые и (m-n) — нечетное число.

Если и m, и n одновременно являются нечетными, то x, y и z будут четными, а тройка не будет примитивной. Однако деление x, y и z на 2 даcт примитивную тройку, если m и n взаимно просты.

Несмотря на то, что формула Евклида генерирует все примитивные тройки, она не порождает все тройки. Но если добавить дополнительный параметр k получим формулу, порождающую все Пифагоровы треугольники единственным образом:

где m, n, k — натуральные числа; m>n; (m-n) — нечетно; m и n — взаимно простые числа.

Чтобы доказать, что последние формулы образуют пифагоровы тройки, найдем значения:

x 2 + y 2 = k(m 2 +n 2 )

таким образом, мы показали, что:

Полученная формула является определением пифагоровой тройки.

Так как любую пифагорову тройку можно разделить на некоторое k, чтобы получить примитивную тройку, то любая тройка может быть образована единственным образом с использованием m и n для создания примитивной тройки, а затем она умножается на k.

Из одного пифагорового треугольника (x, y, z) можно получить бесконечное множество подобных ему треугольников, если каждую из сторон умножить на одно и тоже натуральное число k: (kx, ky, kz), где k – любое натуральное число.

Основной треугольник среди подобных пифагоровых треугольников – это наименьший треугольник, катеты которого выражены взаимно простыми числами.

• В пифагоровой тройке (x, y, z) одно из чисел x и y всегда нечетно, гипотенуза всегда нечетная.
• Египетский треугольник – это единственный пифагоров треугольник стороны которого выражены последовательными натуральными числами: (3, 4, 5).
• Тождество Месснера задает множество пифагоровых треугольников, у которых один из катетов на 1 меньше гипотенузы:

Во всяком пифагоровом треугольнике хотя бы один из катетов делится на 3 и хотя бы один из катетов делится на 4 (это может быть один и тот же катет).

Между пифагоровыми треугольниками (a,b,c) и рациональными точками дуги единичной окружности (x 2 + y 2 = 1) в первой четверти системы координат можно установить однозначное соответствие, полагая: