Как построить эллиптический параболоид

уравнение поверхности второго порядка

Поверхность, представляемая уравнением

при (p > 0, q > 0), носит название эллиптический параболоид.

Сечения плоскостями XOZ и YOZ (главные сечения — это параболы).

Обе параболы обращены вогнутостью в одну сторону (вверх).

Плоскость z=0 касается параболоида в точке O, плоскости z=h при h>0 пересекают эллиптический параболоид подобными между собой эллипсами.

При h XOZ и YOZ и относительно оси OZ. Прямая OZ называется осью эллиптического параболоида. Точка O — его вершиной, величины p и q — параметрами.

При p = q параболы становятся равными, эллипсы обращаются в окружности и параболоид становится поверхностью порождаемой вращением параболы около ее оси (параболоид вращения).

Эллиптический параболоид можно определить как поверхность получаемую равномерным сжатием параболоида вращения к одному из его меридианов.

Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M(x,y,z)

этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z=z с центром в (0,0,z) и радиусом

, целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).

Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением

F(x 2 +y 2 ,z)=0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.

Эллипсоид:

Мнимый эллипсоид.

где a > 0, b > 0, c > 0. Эта поверхность не имеет ни одной вещественной точки.

Свойства эллипсоида.

1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

2. Эллипсоид обладает:

• центральной симметрией относительно начала координат,

• осевой симметрией относительно координатных осей,

• плоскостной симметрией относительно начала координат.

3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается

Однополостной гиперболоид.

Свойства однополостного гиперболоида.

1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

2. Однополостной гиперболоид обладает:

• центральной симметрией относительно начала координат,

• осевой симметрией относительно всех координатных осей,

• плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается

эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.

Двуполостной гиперболоид.

Свойства двуполостного гиперболоида.

1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,

что и неограничен сверху.

2. Двуполостный гиперболоид обладает

• центральной симметрией относительно начала координат,

• осевой симметрией относительно всех координатных осей,

• плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при

получается эллипс, при – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям

Ox и Oy, – гипербола.

Эллиптический параболоид.

В случае, если a=b≠0, перечисленные выше (эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной

гиперболоид, эллиптический параболоид) поверхности являются поверхностями вращения.

Эллиптический параболоид.

Свойства эллиптического параболоида.

1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,

что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

2. Эллиптический параболоид обладает:

• осевой симметрией относительно оси Oz,

• плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.

3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а

плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид:

Если a=b, то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную

вращением параболы, параметр которой , вокруг вертикальной оси, проходящей через

вершину и фокус данной параболы.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью z=z>0 является эллипсом.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью x=x или y=y является параболой.

Определение параболоида

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением

В уравнениях (4.51) и (4.52) и — положительные параметры, характеризующие параболоиды, причем для эллиптического параболоида .

Начало координат называют вершиной каждого из параболоидов ((4.50) или (4.51)).

Плоские сечения эллиптического параболоида

Плоскость пересекает эллиптический параболоид (4.51) по линии, имеющей в этой плоскости уравнение , которое равносильно уравнению параболы с фокальным параметром . Сечение параболоида плоскостью получаем, подставляя в уравнение (4.51): . Это уравнение равносильно уравнению параболы с фокальным параметром . Эти сечения называются главными параболами эллиптического параболоида (4.51).

Рассмотрим теперь сечение эллиптического параболоида плоскостями, параллельными плоскости . Подставляя , где — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.51), получаем

При уравнение не имеет действительных решений, т.е. плоскость при не пересекает параболоид (4.51). При уравнению (4.51) удовлетворяет одна вещественная точка — вершина параболоида. При 0" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQBAMAAACigOGCAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAQSHbWqHA > уравнение определяет эллипс с полуосями . Следовательно, сечение эллиптического параболоида плоскостью (при 0" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQBAMAAACigOGCAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAQSHbWqHA >) представляет собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины — на главных параболах.

Таким образом, эллиптический параболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных параболах (рис.4.46,а).

Параболоид вращения

Эллиптический параболоид, у которого , называется параболоидом вращения . Такой параболоид является поверхностью вращения. Сечения параболоида вращения плоскостями (при 0" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQBAMAAACigOGCAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAQSHbWqHA >), представляют собой окружности с центрами на оси аппликат (рис.4.46,б). Его можно получить, вращая вокруг оси параболу , где .

Плоские сечения гиперболического параболоида

Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями и представляют собой параболы (главные параболы) или с параметрами или соответственно. Поскольку оси симметрии главных парабол направлены в противоположные стороны, гиперболический параболоид называют седловой поверхностью .

Рассмотрим теперь сечения гиперболического параболоида плоскостями, параллельными плоскости . Подставляя , где — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.52), получаем При 0" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQBAMAAACigOGCAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAQSHbWqHA > уравнение равносильно уравнению гиперболы полуосями , то есть сечение гиперболического параболоида плоскостью при 0" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQBAMAAACigOGCAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAQSHbWqHA > представляет собой гиперболу с центром на оси аппликат, вершины которой лежат на главной параболе . При получаем уравнение сопряженной гиперболы с полуосями , т.е. сечение гиперболического параболоида плоскостью при представляет собой сопряженную гиперболу с центром на оси аппликат, вершины которой лежат на главной параболе . При получаем уравнение пересекающихся прямых , т.е. сечение гиперболического параболоида плоскостью представляет собой пару пересекающихся в начале координат прямых.

Таким образом, гиперболический параболоид можно представить как поверхность, образованную гиперболами (включая и "крест" из их асимптот), вершины которых лежат на главных параболах (рис.4.47,а).

Сечение параболоида плоскостью , где — произвольная постоянная, представляет собой параболу

равную главной параболе с параметром , вершина которой лежит на другой главной параболе с параметром . Поэтому гиперболический параболоид можно представить как поверхность, получающуюся при перемещении одной главной параболы так, чтобы ее вершина "скользила" по другой главной параболе (рис.4.47,б).

1. Гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью, т.е. поверхностью, образованной движением прямой (рис.4.47,в).

2. Ось аппликат канонической системы координат является осью симметрии параболоида, а координатные плоскости — плоскостями симметрии параболоида.

В самом деле, если точка принадлежит параболоиду (эллиптическому или гиперболическому), то точки с координатами при любом выборе знаков также принадлежат параболоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.51) или (4.52) соответственно. Поэтому параболоид симметричен относительно координатных плоскостей и координатной оси .