Построение линии пересечения двух плоскостей заданных треугольниками

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.

Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L₁ и L₂, принадлежащих линии пересечения.

1. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₁. Она пересекает α и β по прямым. Фронтальные проекции этих прямых, 1”C” и 2”3”, совпадают с фронтальным следом пл. γ₁. Он обозначен на рисунке как f_γ1 и расположен параллельно оси x.
2. Определяем горизонтальные проекции 1’C’ и 2’3′ по линиям связи.
3. Находим горизонтальную проекцию точки L₁ на пересечении прямых 1’C’ и 2’3′. Фронтальная проекция точки L₁ лежит на фронтальном следе плоскости γ.
4. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₂. С помощью построений, аналогичных описанным в пунктах 1, 2, 3, находим проекции точки L₂.
5. Через L₁ и L₂ проводим искомую прямую l.

Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.

Пересечение плоскостей, заданных следами

Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П₁ и П₂.

1. Находим точку L’₁, расположенную на пересечении горизонтальных следов h_α и h_β. Точка L”₁ лежит на оси x. Её положение определяется при помощи линии связи, проведенной из L’₁.
2. Находим точку L”₂ на пересечении фронтальных следов пл. α и β. Точка L’₂ лежит на оси x. Её положение определяется по линии связи, проведенной из L”₂.
3. Проводим прямые l’ и l” через соответствующие проекции точек L₁ и L₂, как это показано на рисунке.

Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.

Пересечение плоскостей треугольников

Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF, и определение их видимости методом конкурирующих точек.

1. Через прямую DE проводим фронтально-проецирующую плоскость σ: на чертеже обозначен ее след f_0σ. Плоскость σ пересекает треугольник ABC по прямой 35. Отметив точки 3”=A”B”∩f_0σ и 5”=A”С”∩f_0σ, определяем положение (∙)3′ и (∙)5′ по линиям связи на ΔA’B’C’.
2. Находим горизонтальную проекцию N’=D’E’∩3’5′ точки N пересечения прямых DE и 35, которые лежат во вспомогательной плоскости σ. Проекция N” расположена на фронтальном следе f_0σ на одной линии связи с N’.

Через прямую BC проводим фронтально-проецирующую плоскость τ: на чертеже обозначен ее след f_0τ. С помощью построений, аналогичных тем, что описаны в пунктах 1 и 2 алгоритма, находим проекции точки K.

Фронтально-конкурирующие точки 4 и 5, принадлежащие ΔDEF и ΔABC соответственно, находятся на одной фронтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₂. Так как (∙)5′ находится ближе к наблюдателю, чем (∙)4′, то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)5 является видимым в проекции на пл. π₂. С противоположной стороны от линии N”K” видимость треугольников меняется.

Горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7, принадлежащие ΔABC и ΔDEF соответственно, находятся на одной горизонтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₁. Так как (∙)6” находится выше, чем (∙)7”, то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)6 является видимым в проекции на пл. π₁. С противоположной стороны от линии N’K’ видимость треугольников меняется.

2.1. Условие задания

По заданным координатам точек А, В, С, D, E, F (Таблица 2) построить горизонтальную и фронтальную проекции треугольников ∆АBC и ∆DEF, найти линию их пересечения и определить видимость элементов треугольников.

2.2. Пример выполнения задания № 2

Второе задание представляет комплекс задач по темам:

1. Ортогональное проецирование, эпюр Монжа, точка, прямая, плоскость: по известным координатам шести точек А, В, С, D, E, Fпостроить горизонтальную и фронтальную проекции 2-х плоскостей, заданных ∆АBC и ∆DEF;

2. Плоскости общего и частного положения, пересечение прямой и плоскости, пересечение плоскостей, конкурирующие точки: построить линию пересечения заданных плоскостей и определить видимость их элементов.

Построить горизонтальные и фронтальные проекции заданных плоскостей ∆АBC и ∆DEF (Рисунок 2.1).

Для построения искомой линии пересечения заданных плоскостей необходимо:

1. Выбрать одну из сторон треугольника и построить точку пересечения этой стороны с плоскостью другого треугольника: на Рисунке 2.1 построена точка М пересечения прямой EF c плоскостью ∆АBC; для этого прямую EF заключают во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость δ;

2. Построить фронтальную проекцию 1₂2₂ линии пересечения плоскости δ с плоскостью ∆АBC;

3. Найти фронтальную проекцию М2 искомой точки М на пересечении фронтальную проекцию 1₂2₂ с фронтальной проекцией E₂ F₂прямой EF;

4. Найти горизонтальную проекцию М₁ точки М с помощью линии проекционной связи;

5. Аналогично построить вторую точку N, принадлежащую искомой линии пересечения заданных плоскостей: заключить во фронтально-проецирующую плоскость β прямую ВС; найти линию пересечения 34 плоскости с плоскостью ∆DEF; на пересечении линии 34 и прямой ВС найти точку N;

6. Определить с помощью конкурирующих точек, для каждой плоскости отдельно, видимые участки треугольников.

Рисунок 2.1 – Построение линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками

Рисунок 2.2 – Пример оформления задания 2

Метки

Линия пересечения плоскостей двух треугольников

Линия пересечения плоскостей двух треугольников начинают с построения точек по координатам. (на рисунке 1 представлены построенные плоскости)

1. Построение по координатам.

2. Выбираете какая из сторон плоскостей будет секущей . В данном случае возьмем Е₂D₂ ,принадлежащая плоскости Е₂D₂F₂, которая пересекает плоскость А₂В₂С₂ в точка 1₂ и 2₂.

Полученные точки, проецируют на стороны плоскости, которым они принадлежат, т.е С₁В₁ и А₁В₁.

Т.к. секущей является ЕD, то необходимо чтобы прямая 1₁2₁ пересекла секущую. В данном случае в точке К_{1.(Первая точка найдена)}

3. Одной точки мало будет. Повторим действия, описанные в пункте 2, но с отрезком E₂F₂.

E2F2 пересекает А₂В₂С₂ в точках 3₂ и 4₂. Проецируете на стороны А1С1 и А₁В₁.

Т.к. секущей является EF, то необходимо чтобы прямая 3₁4₁ пересекла секущую, но такого нет (не хватает немного отрезка). Для этого прямая 3₁4₁ продливается пока не пересечется с E₁F₁. Обозначаете точку (обозначил Н₁)._{(Но Н1 не является точкой пересечения, потому как на виде сверху принадлежит только одной плости)}

4. Соединяются точки К₁ и Н₁. Ближайшая точка, принадлежащая этой прямой и двум плоскостям, находится на стороне А₁В₁ плоскости А₁В₁С₁, обозначаем Р₁. _{(Вторая точка найдена)}

5. Найденные точки необходимо спроецировать на стороны плоскости, которым они принадлежат.

5. Обводите соответсвующими линиями контуры плоскостей, воспользовавшись методом конкурирующих точек.