Краткое описание документа:
Решение любой математической задачи предполагает знание точного предписания, определяющего, как от исходных данных перейти к искомому результату. Такое предписание называется алгоритмом решения.
В этом видеоуроке рассмотрен алгоритм решения квадратного уравнения
1. Поскольку число корней квадратного уравнения, а значит его решений, зависит от дискриминанта, то сначала целесообразно определить этот дискриминант. Возможно, что уравнение и вовсе не придется решать.
Итак, вычисляем дискриминант D по формуле D = b 2 – 4ac. Далее следуем пунктам.
2. Если D 2 + bx + c = 0 не имеет корней.
3. Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле
4. Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые определяются по формулам x1 = ( (- b + √D) / (2a)), x2 = ( (- b – √D) / (2a)).
Этот алгоритм универсален, потому что с его помощью можно решать уравнения полные, и так называемые неполные квадратные уравнения. Полное квадратное уравнение – это уравнение ax 2 + bx + c = 0, где b не равно 0 и с не равно 0.
Если в уравнении b=0 или с=0, то квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным.
Рассмотрим решение некоторых уравнений. Например, x 2 + 3x – 5 = 0. В видеоуроке показано, как применяется алгоритм решения. Дискриминант данного уравнения D=29, то есть D>0, значит, уравнение имеет два корня, которые мы и находим по формулам
x1 = (- b + √D) / (2a), x2 = (- b – √D) / (2a). В результате получаем ответ x1 = (- 3 + √29)/2 , x2 = (- 3 – √29)/2.
Некоторые уравнения нужно сначала преобразовать, а затем решать. Примеры решения таких уравнений показаны в видеоуроке.
Рассмотрим уравнение -9x 2 + 6x – 1 = 0. Умножая обе части этого уравнения на -1, получим 9x 2 – 6x + 1 = 0. Дискриминант данного уравнения D=0. Значит, согласно алгоритму, квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле
X = – (b/2a). Этот корень x = 1/3.
Данное уравнение можно решить иначе. Как? Смотрите видеоурок.
Следующее уравнение 2x 2 – x + 3,5 = 0. Определяем дискриминант этого уравнения. Оказывается, что D= -27, то есть D 2 – 4ac 2 – 4ac = 0, то x1,2 = ( -b +- √0)/2a = -(b/2a) . Говорят, также, что уравнение имеет два равных корня, или корень кратности два.
Если же D = b 2 – 4ac > 0, то уравнение имеет два корня, которые вычисляют по формулам x1 = (- b + √D) / (2a), x2 = (- b – √D) / (2a). Таким образом, квадратное уравнение можно решать подробно, как это показано в видеоуроке, либо сразу записать общую формулу, и с ее помощью делать необходимые вычисления.
Рассмотрим пример 2/3x 2 + 5/6x 2 – 7/12 = 0. Мы видим, что коэффициенты и свободный член уравнения представляют собой дроби, с которыми неудобно работать. Как преобразовать и решить это и подобные уравнения, узнаем из видеоурока. Оттуда же поймем, когда удобнее пользоваться развернутым алгоритмом, а когда общей формулой.
Рассмотрим уравнение x 2 – (2p + 1)x+ (p 2 + p -2) = 0. Отличие этого уравнения состоит в том, что коэффициенты его являются буквенными выражениями. Говорят, что это уравнение с буквенными коэффициентами или с параметрами. Решение уравнений с параметрами требует особых навыков. В видеоуроке подробно и доступно показано решение таких уравнений и учет значений параметра при этом.
Система тестов
| Номер теста | Проверяемый случай | Коэффициенты | Результаты | ||
| a | b | c | |||
| 1 | d >0 | 1 | 1 | -2 | x1 = 1, x2 = – 2 |
| 2 | d=0 | 1 | 2 | 1 | Корни равны: x1 = – 1, x2 = – 1 |
| 3 | d 0 | 2 | Неправильное уравнение | ||
| 6 | a=0, b<>0 | 2 | 1 | Линейное уравнение. Один корень: x = – 0,5 | |
| 7 | a<>0, b<>0, с=0 | 2 | 1 | x1 = 0, x2 = – 0,5 | |
Школьный АЯ (упрощенный алгоритм)
алг Квур (арг вещ а, b, c, рез вещ x1, x2, рез лит t)
дано a <> 0
нач вещ d
d := b**2-4*a*c | d – дискриминант квадратного уравнения
если d
Turbo Pascal
Program QuadraticEquation;
Uses Crt; < подключение библиотеки Crt >
Var a, b, c : Real;
Discr : Real;
x1, x2 : Real;
Test, NTest : Integer;
ClrScr;
Write(‘Введите количество тестов : ‘);
ReadLn(NTest);
For Test := 1 to NTest do <цикл по всем тестам задачи >
begin
Write(‘Тест ‘, Test, ‘. Введите коэффициенты a, b, c : ‘);
ReadLn(a, b, c);
If (a=0) and (b=0) and (c=0)
then begin Write(‘Все коэффициенты равны нулю.’);
WriteLn(‘x – любое число ‘)
end
else
If (a=0) and (b<>0)
then WriteLn(‘Линейное уравнение. Oдин корень: x =’, (-c/b):6:2)
else
If (a=0) and (b=0) and (c<>0)
then WriteLn(‘Неправильное уравнение.’)
else
begin
Discr := b*b – 4*a*c;
If Discr > 0
then begin
x1:=(-b + Sqrt(Discr)) / (2*a);
x2:=(-b – Sqrt(Discr)) / (2*a);
WriteLn(‘x1=’ , x1:6:2 , ‘; x2=’ , x2:6:2)
end
else
If Discr = 0
then begin
x1 := -b/(2*a);
WriteLn(‘Корни равны: x1=’, x1:6:2, ‘ x2=’, x1:6:2)
end
else WriteLn(‘Действительных корней нет.’);
end;
WriteLn
end;
ReadLn
END.
QBasic
CLS
INPUT "Введите количество тестов : ", NTest
FOR Test = 1 TO NTest ‘ цикл по всем тестам задачи
PRINT "Тест" ; Test ; ". Введите коэффициенты a, b, c : " ;
INPUT a, b, c
IF (a = 0) AND (b = 0) AND (c = 0) THEN
PRINT "Все коэффициенты равны нулю. x – любое число"
ELSE
IF (a = 0) AND (b <> 0) THEN
PRINT "Линейное уравнение, корень один : x = "; -c / b
ELSE
IF (a = 0) AND (b = 0) AND (c <> 0) THEN
PRINT "Неправильное уравнение."
ELSE
Discr = b * b – 4 * a * c
IF Discr > 0 THEN
x1 = (-b + SQR(Discr)) / (2 * a)
x2 = (-b – SQR(Discr)) / (2 * a)
PRINT "x1 = "; x1; "; x2 = "; x2
ELSE
IF Discr = 0 THEN
x1 = – b / (2 * a)
PRINT "Корни равны: x1 = "; x1; "; x2 = "; x1
ELSE PRINT "Действительных корней нет."
END IF
END IF
END IF
END IF
END IF : PRINT
NEXT Test
ENDРезультаты работы QBasic-программы (фрагмент):
| Тест 1 . Введите коэффициенты a, b, c : ? 1, 1, -2 x1 = 1 ; x2 = – 2 |
Тест 2 . Введите коэффициенты a, b, c : ? 1, 2, 1
Корни равны: x1 = – 1 ; x2 = – 1
Тест 3 . Введите коэффициенты a, b, c : ? 2, 1, 2
Действительных корней нет.
Задача 1. Составить блок-схему и программу, находящие корни квадратного уравнения
ax 2 + bx + c = 0
ПРОГРАММА на БЕЙСИК
PRINT “Решение квадратного уравнения“
INPUT “Ввести a, b, c: “, a, b, c
d = b * b – 4 * a * c
THEN Х 1=(-b-sqr(d))/(2*a) : Х 2=(-b+sqr(d))/(2*a) : PRINT “Х1=“, Х1, “ Х2=“, Х2
ELSE PRINT “Действительных корней нет “
Запустите программу на выполнение и решите следующие квадратные уравнения:
а) 1125 х 2 – 45 х – 324 = 0
б) 502 х 2 – 38,5 х + 12,125 = 0
в) 16 х 2 – 256 х + 1024 = 0
Задача 2. Составить блок-схему и программу, определяющие количество корней квадратного уравнения
ПРОГРАММА на БЕЙСИК
PRINT “Количество корней квадратного уравнения“
INPUT “Ввести a, b, c: “, a, b, c
d = b * b – 4 * a * c
IF d > 0 THEN PRINT “2 разных корня“ ELSE PRINT “2 одинаковых корня“
ELSE PRINT “Действительных корней нет“
Запустите программу на выполнение и определите количество корней в следующих квадратных уравнениях:
а) 1125 х 2 – 45 х – 324 = 0
б) 502 х 2 – 38,5 х + 12,125 = 0
в) 16 х 2 – 256 х + 1024 = 0
Задача 3*. Составить блок-схему и программу, определяющие имеет ли квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 хотя бы один корень, больший числа m .
Запустите программу на выполнение и определите имеется ли корень в следующих квадратных уравнениях:
а) 1125 х 2 – 45 х – 324 = 0 при m = 0
б) 502 х 2 – 38,5 х + 12,125 = 0 при m = 15
в) 16 х 2 – 256 х + 1024 = 0 при m = 7
Домашнее задание – Составить блок-схемы и программы для следующих задач:
Задача 1. Определить является ли введенное с клавиатуры число корнем квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 .
“>